题目描述与示例
题目描述
某部门计划通过结队编程来进行项目开发，已知该部门有 N 名员工，每个员工有独一无二的职级，每三个员工形成一个小组进行结队编程。
结队分组规则如下：
从部门中选出序号分别为i、j、k 的 3 名员工，他们的职级分别为 level[i], level[j], level[k] 结队小组需满足 level[i] < level[j] < level[k] 或者 level[i] > level[j] > level[k] ，其中 0 ⩽ i < j < k < n
请你按上述条件计算可能组合的小组数量。同一员工可以参加多个小组。
输入描述
第一行输入：员工总数 n
第二行输入：按序号依次排列的员工的职级 level，中间用空格隔开
限制：
1 ⩽ n ⩽ 6000
1 ⩽ level[i] ⩽ 10^5
输出描述
可能组合的小组数量
示例一
输入
4
1 2 3 4
输出
4
说明
可能结队成的组合 (1,2,3)、(1,2,4)、(1,3,4)、(2,3,4)。
示例二
输入
3
5 4 7
输出
0
说明
根据结队条件，我们无法为该部门组建小组
解题思路
暴力解是很容易想到的，使用三重for循环枚举出所有的三元组并判断和计数即可，时间复杂度为O(n^3)，无法通过10^3的数据量。
考虑组合数学的方法。对于某一个元素nums[j]，如果能够统计出其左边严格小于nums[j]的元素的数量left_smaller[j]和其右边严格大于nums[j]的数量right_greater[j]，那么以nums[j]为中间第二个数，且满足nums[i] < nums[j] < nums[k]的三元组(i, j, k)的数量为left_smaller[j] * right_greater[j]
同理，以nums[j]为中间第二个数，且满足nums[i] > nums[j] > nums[k]的三元组(i, j, k)的数量为
left_greater[j] * right_smaller[j]
因此我们可以构建四个数组，left_greater、left_smaller、right_greater、right_smaller，这四个数组的长度均为n。第j个位置表示，位于j的左边严格大于、位于j的左边严格小于、位于j的右边严格大于、位于j的右边严格小于nums[j]的元素个数。构建过程如下
python">for j in range(1, n-1):
for i in range(j):
if nums[i] > nums[j]:
left_greater[j] += 1
elif nums[i] < nums[j]:
left_smaller[j] += 1
for k in range(j+1, n):
if nums[k] > nums[j]:
right_greater[j] += 1
elif nums[k] < nums[j]:
right_smaller[j] += 1
再使用组合数学的加法原理和乘法原理统计最终结果。
python">ans = 0
for j in range(1, n-1):
ans += left_greater[j] * right_smaller[j]
ans += left_smaller[j] * right_greater[j]
这样就把时间复杂度从O(n^3)降低到了O(n^2)
代码
Python
python"># 题目：【模拟】2023C-结队编程
# 分值：200
# 作者：闭着眼睛学数理化
# 算法：模拟/组合数学
# 代码看不懂的地方，请直接在群上提问
n = int(input())
nums = list(map(int, input().split()))
# 构建四个辅助数组
left_greater = [0] * n
left_smaller = [0] * n
right_greater = [0] * n
right_smaller = [0] * n
# 索引0和n-1不可能作为中间元素，可以不考虑
# 遍历所有的中间索引j
for j in range(1, n-1):
# j左边的元素
for i in range(j):
# 严格大于nums[j]
if nums[i] > nums[j]:
left_greater[j] += 1
# 严格小于nums[j]
elif nums[i] < nums[j]:
left_smaller[j] += 1
# j右边的元素
for k in range(j+1, n):
# 严格大于nums[j]
if nums[k] > nums[j]:
right_greater[j] += 1
# 严格小于nums[j]
elif nums[k] < nums[j]:
right_smaller[j] += 1
ans = 0
# 再次遍历所有中间索引j
# 应用组合数学的乘法原理、加法原理
for j in range(1, n-1):
ans += left_greater[j] * right_smaller[j]
ans += left_smaller[j] * right_greater[j]
print(ans)
Java
java">import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int[] nums = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = scanner.nextInt();
}
int[] leftGreater = new int[n];
int[] leftSmaller = new int[n];
int[] rightGreater = new int[n];
int[] rightSmaller = new int[n];
for (int j = 1; j < n - 1; j++) {
for (int i = 0; i < j; i++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
leftGreater[j]++;
} else if (nums[i] < nums[j]) {
leftSmaller[j]++;
}
}
for (int k = j + 1; k < n; k++) {
if (nums[k] > nums[j]) {
rightGreater[j]++;
} else if (nums[k] < nums[j]) {
rightSmaller[j]++;
}
}
}
int ans = 0;
for (int j = 1; j < n - 1; j++) {
ans += leftGreater[j] * rightSmaller[j];
ans += leftSmaller[j] * rightGreater[j];
}
System.out.println(ans);
}
}
C++
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
int n;
cin >> n;
vector<int> nums(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> nums[i];
}
vector<int> leftGreater(n, 0);
vector<int> leftSmaller(n, 0);
vector<int> rightGreater(n, 0);
vector<int> rightSmaller(n, 0);
for (int j = 1; j < n - 1; j++) {
for (int i = 0; i < j; i++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
leftGreater[j]++;
} else if (nums[i] < nums[j]) {
leftSmaller[j]++;
}
}
for (int k = j + 1; k < n; k++) {
if (nums[k] > nums[j]) {
rightGreater[j]++;
} else if (nums[k] < nums[j]) {
rightSmaller[j]++;
}
}
}
int ans = 0;
for (int j = 1; j < n - 1; j++) {
ans += leftGreater[j] * rightSmaller[j];
ans += leftSmaller[j] * rightGreater[j];
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
时空复杂度
时间复杂度：O(N^2)。双重循环所需时间复杂度。
空间复杂度：O(N)。四个列表所占空间。
